Γιατί το ελεύθερο ηλεκτρόνιο ΔΕΝ απορροφά φωτόνιο;

📜 Η Πρόταση προς Απόδειξη

Έστω ότι ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο μάζας ηρεμίας \(m_0\), αρχικά ακίνητο, απορροφά ολικά ένα φωτόνιο ενέργειας \(E_\Phi = hf\) και ορμής \(p_\Phi = \frac{hf}{c}\).

Θα αποδείξουμε ότι είναι αδύνατον να ικανοποιούνται ταυτόχρονα η Διατήρηση της Ορμής και η Διατήρηση της Ενέργειας.

1. Υπόθεση Διατήρησης της Ορμής

Αν το ηλεκτρόνιο απορροφήσει ολικά το φωτόνιο, τότε όλη η ορμή του φωτονίου μεταφέρεται στο ηλεκτρόνιο:

\[ p_e = p_\Phi = \frac{hf}{c} \]

Σχετικιστικά, η συνολική ενέργεια \(E_e\) ενός σωματιδίου μάζας \(m_0\) με ορμή \(p_e\) δίνεται από τη θεμελιώδη σχετικιστική σχέση:

\[ E_e^2 = (p_e c)^2 + (m_0 c^2)^2 \]

Αντικαθιστώντας \(p_e c = hf\):

\[ E_e^2 = (hf)^2 + (m_0 c^2)^2 \quad \text{(Σχέση 1)} \]

2. Υπόθεση Διατήρησης της Ενέργειας

Αν ισχύει η διατήρηση της ενέργειας, η τελική συνολική ενέργεια του ηλεκτρονίου \(E_e\) πρέπει να ισούται με την αρχική ενέργεια του συστήματος (ενέργεια φωτονίου + ενέργεια ηρεμίας ηλεκτρονίου):

\[ E_e = hf + m_0 c^2 \]

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο:

\[ E_e^2 = (hf + m_0 c^2)^2 \]

\[ E_e^2 = (hf)^2 + 2(hf)(m_0 c^2) + (m_0 c^2)^2 \quad \text{(Σχέση 2)} \]

3. Η Αντίφαση (Σύγκριση Σχέσεων 1 & 2)

Εξισώνουμε τα δεξιά μέλη των Σχέσεων (1) και (2):

\[ (hf)^2 + (m_0 c^2)^2 = (hf)^2 + 2(hf)(m_0 c^2) + (m_0 c^2)^2 \]

Αφαιρώντας τους κοινούς όρους \((hf)^2\) και \((m_0 c^2)^2\) από τα δύο μέλη, προκύπτει:

\[ 0 = 2(hf)(m_0 c^2) \]

Όμως, γνωρίζουμε ότι:

\(h \neq 0\) (σταθερά του Planck)
\(f > 0\) (συχνότητα του φωτονίου)
\(m_0 > 0\) (μάζα ηρεμίας ηλεκτρονίου)
\(c > 0\) (ταχύτητα του φωτός)

Άρα \(2(hf)(m_0 c^2) \neq 0\). Καταλήξαμε σε άτοπο!

💡 Πόση Κινητική Ενέργεια «αντιστοιχεί» στην Ορμή;

Αν επιβάλουμε τη Διατήρηση της Ορμής, η σχετικιστική κινητική ενέργεια \(K_e\) που αποκτά το ηλεκτρόνιο είναι:

\[ K_e = E_e - m_0 c^2 = \sqrt{(hf)^2 + (m_0 c^2)^2} - m_0 c^2 \]

Επειδή για κάθε \(a > 0\) και \(b > 0\) ισχύει αυστηρά \(\sqrt{a^2 + b^2} < a + b\), θέτοντας \(a = hf\) και \(b = m_0 c^2\) έχουμε:

\[ \sqrt{(hf)^2 + (m_0 c^2)^2} < hf + m_0 c^2 \]

Αφαιρώντας \(m_0 c^2\) και από τα δύο μέλη:

\[ \underbrace{\sqrt{(hf)^2 + (m_0 c^2)^2} - m_0 c^2}_{K_e} < hf \]

\[ \boxed{K_e < hf} \]

🎯 Τελικό Συμπέρασμα

Για να πάρει το ελεύθερο ηλεκτρόνιο όλη την ορμή του φωτονίου, «χρειάζεται» κινητική ενέργεια \(K_e\) που είναι αυστηρά μικρότερη από την ενέργεια \(hf\) που διαθέτει το φωτόνιο. Η ενέργεια που περισσεύει δεν έχει πού να αποθηκευτεί (αφού το ελεύθερο ηλεκτρόνιο δεν έχει εσωτερικές δομές/ενεργειακές στάθμες), καθιστώντας την ολική απορρόφηση αδύνατη.

✅ Γιατί στο Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο ΔΕΝ παραβιάζονται οι Νόμοι Διατήρησης;

Στο Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο το ηλεκτρόνιο δεν είναι ελεύθερο, αλλά δεσμευμένο στο άτομο/πλέγμα.

💡 Συμμετρική & Συμπυκνωμένη Σύνοψη

Ελεύθερο ηλεκτρόνιο (Compton): Δεν υπάρχει «τρίτο σώμα» να απορροφήσει τη διαφορά ορμής. Αν απορροφούσε ολικά το φωτόνιο, θα παραβιαζόταν η ταυτόχρονη διατήρηση Ενέργειας και Ορμής. Γι' αυτό το φωτόνιο υποχρεωτικά σκεδάζεται.
Δεσμευμένο ηλεκτρόνιο (Φωτοηλεκτρικό): Ο πυρήνας του ατόμου λειτουργεί ως «απορροφητής» ορμής. Όλη η ορμή του φωτονίου μεταφέρεται σε αυτόν, διασφαλίζοντας έτσι τη διατήρηση της συνολικής ορμής, χωρίς να σπαταλάται ενέργεια εκ μέρους του. Έτσι η ενέργεια του φωτονίου μεταφέρεται αποκλειστικά σε ένα δέσμιο ηλεκτρόνιο και αν αυτή είναι επαρκής θα το καταστήσει ελεύθερο και με κινητική ενέργεια.

Γιατί το ελεύθερο ηλεκτρόνιο ΔΕΝ μπορεί να απορροφήσει ολικά ένα φωτόνιο;

📐 Η Απόδειξη (Βήμα-Βήμα)

📜 Η Πρόταση προς Απόδειξη

✅ Γιατί στο Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο ΔΕΝ παραβιάζονται οι Νόμοι Διατήρησης;

💡 Συμμετρική & Συμπυκνωμένη Σύνοψη