Διαγώνισμα Προσομοίωσης Πανελλαδικών 2025 στη Φυσική

Η δύναμη Lorentz είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα, άρα:

• Η κινητική ενέργεια δεν μεταβάλλεται (το έργο της δύναμης είναι 0).
• Το μέτρο της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται.
• Το μέτρο της ορμής δεν μεταβάλλεται, αλλά η διεύθυνσή της αλλάζει συνεχώς → η ορμή $\vec{p}$ μεταβάλλεται.
• Η στροφορμή $\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$ ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς παραμένει σταθερή (κάθετη στο επίπεδο της κίνησης, με μέτρο $m\upsilon R$).

Σχήμα 1 (οριζόντιο ελατήριο): Το σώμα εκτελεί ΑΑΤ γύρω από τη Θέση Φυσικού Μήκους (Θ.Φ.Μ.). Αφού το αφήνουμε από απομάκρυνση $d=w/k$ με $\upsilon_0=0$, το πλάτος είναι $A=d$. Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου μηδενίζεται στη Θ.Φ.Μ., δηλαδή στο κέντρο της ταλάντωσης· μεταξύ πρώτου και δεύτερου μηδενισμού μεσολαβεί μισή περίοδος:

Σχήμα 2 (κατακόρυφο ελατήριο): Η Θέση Ισορροπίας (Θ.Ι.) δεν ταυτίζεται με τη Θ.Φ.Μ. Στη Θ.Ι. ισχύει:

Αφήνουμε το σώμα από θέση που απέχει $d$ πάνω από τη Θ.Φ.Μ. (ελατήριο συμπιεσμένο κατά $d$), δηλαδή $2d$ πάνω από τη Θ.Ι. Άρα το πλάτος είναι $A=d+\Delta\ell_0=2d$.

Η Θ.Φ.Μ. απέχει από τη Θ.Ι. κατά $\Delta\ell_0=d=A/2$. Στον κύκλο αναφοράς (ο δείκτης του σώματος ξεκινά από την πάνω θέση $+A$ και περιστρέφεται αριστερόστροφα με γωνιακή ταχύτητα $\omega$) το σώμα μεταβαίνει από τη θέση $+A/2$ (Θ.Φ.Μ.) στη θέση $-A$ και επιστρέφει στη $+A/2$. Η γωνία από τη θέση $y=+A/2$ έως τη Θ.Ι. ($y=0$) είναι:

Η συνολική γωνία μεταξύ των δύο διαδοχικών μηδενισμών είναι:

1. Διαφορά δρόμων:

Είναι πολλαπλάσιο του λ ($N=2$), άρα το Σ είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής: μετά τη συμβολή ταλαντώνεται με πλάτος $A'=2A$.

2. Χρόνοι άφιξης των κυμάτων στο Σ:

3. Κίνηση του Σ:

• $0\le t<3T/2$: δεν έχει φτάσει κύμα → το Σ είναι ακίνητο.
• $3T/2\le t<7T/2$: έχει φτάσει μόνο το κύμα της Π1 → πλάτος $A$.
• $t\ge7T/2$: έχουν φτάσει και τα δύο κύματα → πλάτος $2A$.

4. Διάστημα $2T\to5T$ (χωρίζεται σε δύο υποδιαστήματα):

(α) $2T\to7T/2$ με πλάτος $A$: $\Delta t_a=\dfrac{3T}{2}$. Σε μία περίοδο το σημείο διανύει $4A$, άρα:

(β) $7T/2\to5T$ με πλάτος $2A$: $\Delta t_b=\dfrac{3T}{2}$. Σε μία περίοδο διανύει $4\cdot2A=8A$, άρα:

1. Με κλειστό διακόπτη (μόνιμη κατάσταση): το πηνίο με μηδενική ωμική αντίσταση συμπεριφέρεται σαν σύρμα. Οι $R_1$, $R_2$ είναι παράλληλοι (ισοδύναμη $R/2$) και σε σειρά με την εσωτερική αντίσταση $r=R$:

Η πολική τάση (= τάση στους $R_1$, $R_2$) είναι:

Το ρεύμα που διαρρέει τον $R_2$ (και το πηνίο) είναι $I_L=\dfrac{V}{R}=\dfrac{E}{3R}$ (σταθερό· επειδή $di/dt=0$ δεν υπάρχει ΗΕΔ αυτεπαγωγής).

2. Αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη: το ρεύμα του πηνίου δεν μπορεί να αλλάξει ακαριαία:

Η πηγή αποσυνδέεται και το κύκλωμα γίνεται ο βρόχος πηνίο–$R_2$–$R_1$ με συνολική αντίσταση $2R$. Η ΗΕΔ αυτεπαγωγής ακριβώς μετά το άνοιγμα είναι:

Στον $R_1$ το ρεύμα έχει τώρα αντίθετη φορά από πριν. Ο ρυθμός με τον οποίο το πηνίο προσφέρει ενέργεια είναι η ισχύς του:

1. Ισορροπία του σώματος μάζας m:

2. Ισορροπία της ράβδου — ροπές ως προς Α (η αντίδραση της άρθρωσης δεν δημιουργεί ροπή):

• Τάση νήματος στο μέσο Ο, με κατακόρυφη συνιστώσα $T_y=T\eta\mu30°$ προς τα πάνω
• Βάρος ράβδου $W_ρ=Mg=2mg$ στο μέσο Ο
• Δύναμη ελατηρίου $F_{ελ}=mg$ στο Γ προς τα κάτω

3. Συνιστώσες της τάσης:

4. Ισορροπία δυνάμεων:

5. Μέτρο της δύναμης της άρθρωσης:

Η δύναμη που δέχεται ο τοίχος είναι η αντίδραση της $\vec A$ (τρίτος νόμος του Newton): έχει το ίδιο μέτρο.

Γ2.1 — Πλάτος ταλάντωσης: Στη Θέση Ισορροπίας (Θ.Ι.) του σώματος:

Η εκτόξευση γίνεται από τη Θ.Ι., όπου η ταχύτητα είναι μέγιστη: $u=\omega A$ με $\omega=\sqrt{k/m}$:

Άρα η πάνω ακραία θέση ($y=+A$) ταυτίζεται με τη Θ.Φ.Μ. του ελατηρίου, ενώ στην κάτω ακραία θέση η επιμήκυνση είναι $2\Delta\ell$.

Γ2.2 — Λόγος τάσεων $T_1/T_2$: Ροπές ως προς Α (όπως στο Γ1): $T\eta\mu30°\cdot\dfrac L2=2mg\cdot\dfrac L2+F_{ελ}L$, δηλαδή:

Το σώμα εκτοξεύεται προς τα πάνω, άρα η ταχύτητα μηδενίζεται πρώτα στην πάνω και μετά στην κάτω ακραία θέση.

1η φορά ($y=+A$, πάνω ακραία): επιμήκυνση $\Delta\ell-A=0$, άρα $F_{ελ}=0$:

2η φορά ($y=-A$, κάτω ακραία): επιμήκυνση $\Delta\ell+A=2\Delta\ell$, άρα $F_{ελ}=2mg$:

Σημείωση: αν η εκτόξευση ήταν προς τα κάτω, θα μηδενιζόταν πρώτα η ταχύτητα στην κάτω θέση και θα προέκυπτε $T_1=12mg$, $T_2=4mg$, δηλαδή $T_1/T_2=3$.

Για να παραμένει η ράβδος σε ισορροπία, το νήμα πρέπει να είναι διαρκώς τεντωμένο, δηλαδή $T\ge0$. Από τις ροπές ως προς Α (όπως στο Γ2.2):

Η δύναμη του ελατηρίου στη ράβδο είναι $F_{ελ}=k(\Delta\ell-y)$, με $y$ την απομάκρυνση από τη Θ.Ι. (θετική προς τα πάνω)· όταν το ελατήριο συμπιέζεται είναι αρνητική (σπρώχνει τη ράβδο προς τα πάνω). Η δυσμενέστερη θέση είναι η πάνω ακραία, $y=+A$ (μέγιστη συμπίεση). Με $k\Delta\ell=mg$:

1. Ταχύτητα του συσσωματώματος (Α.Δ.Ο.):

2. Κυκλική συχνότητα:

3. Πλάτος: αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη Θ.Φ.Μ. (= Θ.Ι.), με μέγιστη ταχύτητα $V_σ$:

4. Απόσταση σε μία περίοδο:

1. Δυνάμεις στο σώμα M': βάρος $W=M'g$ (κάτω), κάθετη αντίδραση $N$ (πάνω), δύναμη ελατηρίου (οριζόντια) και δύναμη Lorentz $F_L=B|q|\upsilon$, που είναι κάθετη στην ταχύτητα και στο $\vec B$, άρα κατακόρυφη. Για αρνητικό φορτίο, όταν το σώμα κινείται προς τα αριστερά η $F_L$ έχει φορά προς τα πάνω· όταν κινείται προς τα δεξιά, προς τα κάτω.

2. Συνθήκη μη αποκόλλησης ($N\ge0$). Στη δυσμενέστερη περίπτωση (κίνηση προς τα αριστερά, μέγιστη ταχύτητα):

3. Σύνδεση με το πλάτος: $\upsilon_{max}=\omega'A_{max}$, με

1. Πλάτος: αφήνουμε το σώμα από $d=0{,}1\,\text{m}$ με $\upsilon_0=0$, άρα $A=0{,}1\,\text{m}$. Επειδή $d_{max}=0{,}125\,\text{m}>0{,}1\,\text{m}$, το σώμα δεν χάνει την επαφή με το έδαφος.

2. Ταχύτητα στη θέση $x=+0{,}05\,\text{m}$ (Α.Δ.Ε.Τ.):

Την πρώτη φορά που το σώμα περνά από το $x=+0{,}05\,\text{m}$ κινείται προς τη Θ.Ι., δηλαδή προς τα αριστερά: $\upsilon=-2\sqrt3\,\text{m/s}$.

3. Δύναμη Lorentz:

Επειδή το σώμα κινείται προς τα αριστερά, η $F_L$ έχει φορά προς τα πάνω (Σχήμα 2).