Διαγώνισμα Ταλαντώσεων Υψηλής Δυσκολίας

Σώμα μάζας \(m\) πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους \(A\), περιόδου \(T\) και σταθεράς ταλάντωσης \(D\). Κατά την απευθείας μετάβαση του σώματος από τη θέση \(x_1>0\) στη θέση \(x_2\), με \(x_1<x_2\), στο σώμα δρα σταθερή δύναμη \(\vec F\) μέτρου \(F\), η οποία έχει τη διεύθυνση της κίνησης. Η δύναμη αυτή αρχίζει να δρα όταν το σώμα φτάνει στη θέση \(x_1\) και αποσύρεται ακαριαία όταν φτάνει στη θέση \(x_2\).

1. Το έργο της δύναμης \(\vec F\) είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος.
2. Το έργο της δύναμης επαναφοράς \(\vec F_{\mathrm{επ}}=-D\vec x\) είναι ίσο με τη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης.
3. Το έργο της συνισταμένης δύναμης κατά το χρονικό διάστημα άσκησης της \(\vec F\) είναι ίσο με τη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης.
4. Το έργο της δύναμης \(\vec F\) είναι ίσο με τη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδες 5)

Σώμα πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους \(A_0\). Κάποια στιγμή αρχίζει να δρα στο σώμα δύναμη απόσβεσης \(\vec F=-b\vec v\), οπότε το πλάτος της ταλάντωσης αρχίζει να μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση \(A=A_0e^{-\Lambda t}\). Κατά την εξέλιξη της ταλάντωσης με την παρουσία της δύναμης \(\vec F\):

1. Ο συντελεστής \(b\) μειώνεται.
2. Το έργο της δύναμης \(\vec F\) κατά τη μετάβαση από τη θέση \(x_1\) στη θέση \(x_2\) είναι ίσο με τη μεταβολή της ενέργειας ταλάντωσης.
3. Ο ρυθμός παραγωγής έργου από τη δύναμη \(\vec F\) είναι σταθερός.
4. Το έργο της δύναμης \(\vec F\) είναι αρνητικό μόνο κατά τις χρονικές περιόδους στις οποίες το σώμα επιβραδύνεται.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδες 5)

Σώμα μάζας \(m\) εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση στερεωμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \(k\). Στο σώμα δρα δύναμη απόσβεσης \(\vec F=-b\vec v\), καθώς επίσης και εξωτερική περιοδική δύναμη συχνότητας \(f_\delta\). Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι \(f_0\). Αρχίζουμε να μεταβάλλουμε την τιμή της \(f_\delta\). Καθώς ο λόγος \(f_\delta/f_0\) μειώνεται παραμένοντας μεγαλύτερος της μονάδας:

1. Το πλάτος της ταλάντωσης αρχικά αυξάνεται και στη συνέχεια μειώνεται.
2. Η περίοδος της ταλάντωσης αυξάνεται.
3. Η τιμή της ιδιοσυχνότητας αυξάνεται.
4. Το πλάτος της ταλάντωσης συνεχώς μειώνεται.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδες 5)

Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη «Σωστό» για τη σωστή πρόταση και τη λέξη «Λάθος» για τη λανθασμένη.

1. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ο ρυθμός παραγωγής έργου από τη συνισταμένη δύναμη επαναφοράς είναι θετικός στις χρονικές περιόδους στις οποίες το μέτρο της συνισταμένης δύναμης μειώνεται.
2. Σώμα εκτελεί φθίνουσα γραμμική ταλάντωση στην οποία το πλάτος μεταβάλλεται σύμφωνα με \(A=A_0e^{-\Lambda t}\). Η μονάδα της ποσότητας \(\Lambda\) στο S.I. είναι το \(1\,s\).
3. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, στη διάρκεια της οποίας στο σώμα δρα και δύναμη απόσβεσης της μορφής \(\vec F=-b\vec v\), αυξάνουμε τον συντελεστή απόσβεσης \(b\), διατηρώντας τη συχνότητα του διεγέρτη σταθερή. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται.
4. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η κινητική ενέργεια μεταβάλλεται περιοδικά με τον χρόνο.
5. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η κινητική ενέργεια εξισώνεται με τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης τέσσερις φορές στη διάρκεια μιας περιόδου.

(Μονάδες 5)

Ιδανικό ελατήριο σταθεράς \(k\) είναι κατακόρυφο και έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω ελεύθερο άκρο του ελατηρίου τοποθετούμε σώμα \(Σ_1\) μάζας \(m_1=2m\), χωρίς αρχική ταχύτητα, και το αφήνουμε να κινηθεί. Τη στιγμή κατά την οποία το \(Σ_1\) ηρεμεί στιγμιαία για πρώτη φορά τοποθετούμε κατάλληλα πάνω του δεύτερο σώμα \(Σ_2\) μάζας \(m_2=m\).

Ο λόγος του διαστήματος που διάνυσε το σώμα \(Σ_1\) μέχρι να ηρεμήσει στιγμιαία για πρώτη φορά, προς το διάστημα που διανύει το σύστημα των δύο σωμάτων \((Σ_1-Σ_2)\), θεωρούμενα ως ένα ενιαίο σώμα, μέχρι να ηρεμήσει στιγμιαία για πρώτη φορά, είναι ίσος με:

1. 2
2. 3
3. 4

Ι. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδα 1)
ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3)

Τη στιγμή κατά την οποία μηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του ενιαίου σώματος \((Σ_1-Σ_2)\), αποσύρουμε το σώμα \(Σ_2\). Αμέσως μετά το σώμα \(Σ_1\):

1. θα κινηθεί προς τα πάνω
2. θα παραμείνει ακίνητο
3. θα κινηθεί προς τα κάτω

Ι. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδα 1)
ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3)

Ιδανικό ελατήριο σταθεράς \(k\) είναι κατακόρυφο και έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω ελεύθερο άκρο του ελατηρίου τοποθετούμε σώμα \(Σ_1\) μάζας \(m_1\) και πάνω από αυτό, σε απλή επαφή, δεύτερο σώμα \(Σ_2\) μάζας \(m_2\). Τα δύο σώματα μεταφέρονται στη θέση όπου το συνολικό βάρος των δύο σωμάτων είναι ίσο με τη δύναμη του ελατηρίου. Στην κατάσταση αυτή η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι \(\Delta l_0\). Κάποια στιγμή ασκούμε στο σώμα \(Σ_2\) σταθερή κατακόρυφη δύναμη \(\vec F\), μέτρου \(F\), με φορά προς τα κάτω, και μέχρι τη θέση στην οποία μηδενίζεται η ταχύτητα των δύο σωμάτων.

Αμέσως μετά τον μηδενισμό της ταχύτητας η δύναμη \(\vec F\) αποσύρεται και το σύστημα των δύο σωμάτων αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, στην οποία οριακά δεν χάνεται η επαφή τους. Συμβολίζουμε με \(E_1\) την ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος των δύο σωμάτων. Αν η δύναμη \(\vec F\) δεν αποσυρθεί αλλά παραμείνει διαρκώς ασκούμενη στο σύστημα των δύο σωμάτων, τότε τα δύο σώματα θεωρούμενα ως ένα εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με ενέργεια ταλάντωσης \(E_2\). Ο λόγος \(E_1/E_2\) έχει τιμή:

1. \(9/4\)
2. 4
3. \(1/4\)

Ι. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδα 2)
ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

Σώμα \(Σ\) μάζας \(m\) είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \(k\). Το ελατήριο είναι κατακόρυφο και το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο ακλόνητα σε οροφή. Το σώμα τίθεται σε απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους \(A\). Το διάγραμμα της αλγεβρικής τιμής της δύναμης την οποία ασκεί το ελατήριο στο σώμα σε συνάρτηση με την απομάκρυνση \(x\) από τη θέση ισορροπίας είναι το διπλανό.

Η ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με:

1. 6 J
2. 12 J
3. 24 J

Ι. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδα 2)
ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6)

Η δοκός \(ΑΓ\) του σχήματος έχει μήκος \(L\), μάζα \(M=m\), είναι οριζόντια και αρθρωμένη στο άκρο της \(Α\). Στο άλλο της άκρο \(Γ\) είναι στερεωμένο το πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς \(k\), στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σώμα \(Σ\) μάζας \(m\). Ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα δένεται στο ένα του άκρο στο μέσο \(Λ\) της ράβδου και το δεύτερο άκρο του στερεώνεται κατάλληλα στον κατακόρυφο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα \(Σ\) αρχικά ηρεμεί. Στη συνέχεια τίθεται σε κατακόρυφη αρμονική ταλάντωση πλάτους \(A\). Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης διαπιστώνουμε ότι το νήμα οριακά δεν χαλαρώνει και οριακά δεν σπάει. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι \(g\). Το όριο θραύσης \(T_{\theta\rho}\) του νήματος είναι ίσο με:

1. \(3mg\)
2. \(6mg\)
3. \(12mg\)

Ι. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. (Μονάδα 2)
ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Σε κάποια θέση χάνεται η επαφή ανάμεσα στα δύο σώματα. Μετά την απώλεια επαφής, το σώμα \(Σ_1\) παραμένει στερεωμένο στο άκρο του ελατηρίου και πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά \(D=k\). Το πλάτος της ταλάντωσης του \(Σ_1\) είναι υποδιπλάσιο του πλάτους ταλάντωσης του σύνθετου σώματος \((Σ_1-Σ_2)\) πριν την απώλεια της επαφής. Αφού προσδιορίσετε τη θέση όπου χάνεται η επαφή, αιτιολογώντας την απάντησή σας, να υπολογίσετε τη μάζα \(m_2\) του σώματος. (Μονάδες 5)

Κατά την ταλάντωση του σύνθετου σώματος και πριν χαθεί η επαφή των δύο σωμάτων, η αλγεβρική τιμή της δύναμης που ασκεί το σώμα \(Σ_1\) στο \(Σ_2\) μεταβάλλεται με την απομάκρυνση σύμφωνα με τη σχέση \(F=-75x\quad(\mathrm{S.I.})\) Να υπολογίσετε τη σταθερά \(k\) του ελατηρίου. (Μονάδες 3)

Κατά την άσκηση της σταθερής δύναμης \(\vec F\) στο σώμα \(Σ_2\), από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και μέχρι την απόσυρσή της, η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα έχει μέτρο \(v=1\,\mathrm{m/s}\). Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης \(\vec F\). (Mονάδες 6)

Αν η δύναμη \(\vec F\) παραμένει ασκούμενη στο σώμα \(Σ_2\) και δεν αποσυρθεί, να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σύνθετου σώματος \((Σ_1-Σ_2)\). Να θεωρήσετε ως αρχή για τη μέτρηση του χρόνου τη στιγμή κατά την οποία αρχίζει η άσκηση της δύναμης αυτής στο σώμα \(Σ_2\) και θετική φορά του οριζόντιου άξονα προς τα δεξιά. (Μονάδες 6)

Κατά τη διάρκεια της παραπάνω ταλάντωσης να βρείτε το μέγιστο μέτρο της δύναμης που ασκεί το σώμα \(Σ_2\) στο σώμα \(Σ_1\). (Μονάδες 5)

Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος \(Σ_1\):

1. λίγο πριν έρθει σε επαφή με το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου;
2. τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του ελατηρίου είναι ίσο με \(l_1\);

(Μονάδες 4 + 2)

Με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια του σώματος \(Σ_2\), καθώς και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, τη στιγμή \(t_1\) στην οποία \(l_1=0{,}6\,\mathrm m\). (Μονάδες 5)

Τη στιγμή \(t_1\) το σώμα \(Σ_2\) συναντά ανένδοτο τοίχο, ακινητοποιείται ακαριαία και προσκολλάται σε αυτόν. Να υπολογίσετε τη μέγιστη απόσταση από το \(Σ_2\) στην οποία θα βρεθεί για πρώτη φορά το σώμα \(Σ_1\), καθώς και το χρονικό διάστημα από τη στιγμή της ακινητοποίησης του \(Σ_2\) στο οποίο θα συμβεί αυτό. (Μονάδες 4)

Τη στιγμή κατά την οποία το σώμα \(Σ_1\) βρίσκεται για πρώτη φορά στη μέγιστη απόσταση από το σώμα \(Σ_2\), τοποθετούμε πάνω του με μηδενική ταχύτητα σώμα \(Σ_3\) μάζας \(m_3\). Ο συντελεστής στατικής–οριακής τριβής ανάμεσα στα σώματα \(Σ_1\) και \(Σ_3\) έχει τιμή \(\mu_{\mathrm{στ}}=0{,}5\). Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της μάζας \(m_3\), ώστε το σώμα \(Σ_3\) να μην ολισθήσει σχετικά με το \(Σ_2\). (Μονάδες 5)

Με ποιο ρυθμό παράγει έργο η στατική τριβή τη στιγμή κατά την οποία τα σώματα \(Σ_1\) και \(Σ_3\), κινούμενα ως ενιαίο σώμα, έχουν ταχύτητα μέτρου \(v=\sqrt{\frac32}\,\mathrm{m/s}\), απομακρυνόμενα από το \(Σ_2\), και το ελατήριο έχει μήκος μικρότερο του φυσικού. Θεωρείστε ότι \(m_3=3\,\mathrm{kg}\). (Μονάδες 5)

Να βρεθεί η παραμόρφωση του ελατηρίου. Δίνονται \(\sin\theta=0{,}5\), \(\cos\theta=\sqrt3/2\). (Μονάδες 3)

Εκτρέπουμε το σώμα \(Σ_2\) κατακόρυφα προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Συγχρόνως και το σώμα \(Σ_1\) ανυψώνεται και έρχεται σε μια θέση που βρίσκεται ψηλότερα από τη θέση ισορροπίας του. Αφήνουμε ελεύθερα τα σώματα να κινηθούν. Διαπιστώνουμε ότι αυτά πραγματοποιούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω από τη θέση όπου ισορροπούσαν πριν την εκτροπή τους. Η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης του σώματος \(Σ_1\), σε συνάρτηση με την απομάκρυνση \(x\) από τη θέση ισορροπίας του, δίνεται από τη σχέση \(a_1=-100x\quad(\mathrm{S.I.})\) Θετική φορά του κατακόρυφου άξονα λαμβάνεται η προς τα πάνω και του άξονα που είναι παράλληλος προς το κεκλιμένο θεωρούμε την προς τα κάτω. Να εκφράσετε τις αλγεβρικές τιμές των τάσεων των δύο νημάτων που ασκούνται στα σώματα \(Σ_1\) και \(Σ_2\) σε συνάρτηση με την απομάκρυνση \(x\) του σώματος \(Σ_1\). (Μονάδες 5)

Να υπολογίσετε το μέγιστο επιτρεπόμενο πλάτος ταλάντωσης του σώματος \(Σ_1\), προκειμένου να μη χαλαρώσει κανένα από τα δύο νήματα. (Μονάδες 4)

α. Το μέτρο της συνολικής επιτάχυνσης του σημείου της τροχαλίας με το οποίο το νήμα (1) έρχεται σε επαφή τη στιγμή \(t_1\), κατά την οποία το σώμα \(Σ_2\) έχει απομάκρυνση \(x_2=\frac{\sqrt3\,A_{\max}}4\) για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. Δίνεται \(R=0{,}05\,\mathrm m\). (Μονάδες 5)

β. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας περιστροφής της τροχαλίας σ' αυτήν τη στιγμή, κατά την οποία το \(Σ_1\) έχει απομάκρυνση \(A_{\max}/2\) για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. (Μονάδες 4)

Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τάσης του νήματος που ασκεί το νήμα (2) στο σώμα \(Σ_2\) τη στιγμή \(t_1\). (Μονάδες 4)