Τρίωρο Διαγώνισμα στα Κύματα

Στο εγκάρσιο κύμα του σχήματος το σημείο Α έχει μικρότερη φάση από το σημείο Β. Άρα οι ταχύτητες ταλάντωσης των δύο σημείων έχουν φορά:

Η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα, όπως την εκτιμά ένας ακίνητος ως προς το έδαφος παρατηρητής, εξαρτάται:

Σε ένα στάσιμο κύμα, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών:

Σημείωσε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ):

Κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής πολύ μεγάλου μήκους διαδίδεται, χωρίς απώλεια ενέργειας, εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η απομάκρυνση ενός σημείου Ο της χορδής, που το θεωρούμε αρχή των συντεταγμένων ($x=0$), περιγράφεται από την εξίσωση $ψ=0{,}4\,ημωt$. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης $Φ_Μ-Φ_Ν$ δύο σημείων Μ και Ν της χορδής με συντεταγμένες $x_Μ=4$ m και $x_Ν$, συναρτήσει του χρόνου.

Χαρακτήρισε τις προτάσεις:

Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής, που οι θέσεις ισορροπίας των μορίων της βρίσκονται πάνω στον άξονα $x'x$, έχει αποκατασταθεί ένα στάσιμο κύμα. Στο σχήμα έχουμε επιλέξει μια κοιλία ως αρχή αξόνων κι έχουμε σχεδιάσει δεξιά απ' αυτήν δύο στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές $t_1=0$ και $t_2=T/6=1$ s. (Τη στιγμή $t_2$ η μέγιστη τιμή της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής είναι $3\sqrt3$ cm).

i) Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις με Σ ή Λ (1 μονάδα η καθεμιά):

ii) Να δικαιολογήσετε τους χαρακτηρισμούς των προτάσεων β και γ (3 μονάδες).

Στο σχήμα απεικονίζονται, την ίδια στιγμή $t$, τα στιγμιότυπα δύο κυμάτων με ίδια χαρακτηριστικά που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με αντίθετες ταχύτητες.

Τρεις σύγχρονες πηγές $Ο_1, Ο_2, Ο_3$ κυμάτων δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα $υ=1$ m/s. Οι σημειακές πηγές βρίσκονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου με πλευρά $α=\sqrt3$ m. Τη στιγμή $t=0$ οι πηγές αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται κατακόρυφα με εξισώσεις $ψ_1=ψ_2=ψ_3=0{,}1\,ημ2πt$ (S.I.). Τη στιγμή $t_1=3$ s σταματά η $Ο_3$, τη $t_2=4$ s η $Ο_2$ και τη $t_3=5$ s η $Ο_1$.

Ι. Ποια εξίσωση περιγράφει την ταλάντωση του κέντρου του τριγώνου για $1\,\text{s} \le t \le 3\,\text{s}$; (2 μονάδες)

ΙΙ. Αντιστοίχισε κάθε εξίσωση με το χρονικό διάστημα ισχύος της (1 μονάδα η καθεμιά):

α. $0\le t\lt1$ s   β. $1\le t\lt4$ s   γ. $4\le t\lt5$ s   δ. $5\le t\lt6$ s   ε. $t\ge6$ s

Σε μια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους έχει διαμορφωθεί στάσιμο κύμα της μορφής $y=2A\,συν(2πx/λ)\,ημωt$ με $A=0{,}2$ m. Στο σχήμα φαίνονται τρία στιγμιότυπα α, β, γ κατά τη σειρά που εμφανίζονται στην περιοχή ΟΑ, από $x=0$ μέχρι $x_A=0{,}54$ m. Κατά την απ' ευθείας μετάβαση από το στιγμιότυπο α στο β είναι $t_β-t_α=4$ ms, ενώ στη συνέχεια, για την απ' ευθείας μετάβαση από το β στο γ, είναι $t_γ-t_β=T/3$. Το σημείο Σ αντιστοιχεί στην πρώτη κοιλία μετά από αυτήν της αρχής αξόνων Ο.

Να υπολογίσεις την ταχύτητα διάδοσης των τρεχόντων κυμάτων από τα οποία προέκυψε το στάσιμο.

Να υπολογίσεις την ταχύτητα του υλικού σημείου Σ τη χρονική στιγμή $t_β$.

Σε πόσο χρόνο μετά την $t_β$ η ταχύτητα του Σ μηδενίζεται στιγμιαία για δεύτερη φορά;

Να σχεδιάσεις το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος στην ίδια περιοχή, τη χρονική στιγμή που το Σ περνά από τη Θ.Ι. για δεύτερη φορά μετά την $t_β$. Στο στιγμιότυπο να δείξεις και τη φορά της ταχύτητας του σημείου Ο.

🎯 Βρες τη στιγμή: σύρε τον ολισθητή της προσομοίωσης Γ ώσπου το Σ να περνά από τη Θ.Ι. για δεύτερη φορά μετά το β και πάτησε «Αυτό είναι».

Τη στιγμή αυτή η ταχύτητα του σημείου Ο έχει φορά:

Πάνω σε μια οριζόντια τεντωμένη χορδή πολύ μεγάλου μήκους, προσανατολισμένη στη διεύθυνση του άξονα $x'x$, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα κύμα μήκους κύματος $λ=10$ m, το οποίο δημιουργείται από μια πηγή που βρίσκεται στη θέση $x=0$ και ξεκινάει τη στιγμή $t=0$ να ταλαντώνεται με εξίσωση $ψ=2\,ημ(0{,}5πt)$ (S.I.). Σε απόσταση 100 m από την πηγή του κύματος, στη θέση $x=100$ m, έχει τοποθετηθεί μια μικροσυσκευή S αμελητέας μάζας και αμελητέων διαστάσεων, ώστε να μην επηρεάζει τη διάδοση του κύματος. Η οποία μπορεί να εκπέμπει ήχο συχνότητας $f_s=3393$ Hz. Για να ενεργοποιηθεί όμως πρέπει να αποκτήσει κατακόρυφη προς τα κάτω επιτάχυνση ίση με $-2{,}5$ m/s² (και από κει και πέρα παραμένει σε διαρκή λειτουργία).

Ένας δέκτης Α βρίσκεται ακίνητος στην ίδια κατακόρυφο με τη μικροσυσκευή και σε απόσταση 229 m από τη θέση όπου αρχικά ηρεμεί. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 342 m/s και το πλάτος του κύματος παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της διάδοσής του:

Δίνονται: $π^2 \approx 10$ και $\frac{\sqrt3}{2}π \approx 2{,}7$.

Ποια είναι η εξίσωση του κύματος που παράγεται πάνω στη χορδή;

Ποια χρονική στιγμή θα φτάσει το κύμα στη μικροσυσκευή;

Ποια στιγμή αρχίζει να εκπέμπει η μικροσυσκευή;

Από ποια στιγμή και έπειτα ο δέκτης αρχίζει να καταγράφει ηχητικό σήμα;

Η συχνότητα $f_s = 3393$ Hz της πηγής, λόγω της ταχύτητάς της $υ$ ως προς τον αέρα, μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: $f_A \approx 3393 + 10\cdot υ$ Hz. Ποια είναι η αρχική συχνότητα του ήχου που καταγράφει ο δέκτης;

Πόσο είναι το ελάχιστο πλάτος του κύματος, με την ίδια συχνότητα, που μπορεί να ενεργοποιήσει τη μικροσυσκευή;